变参数计量经济学联立模型的局部线性工具向量估计及其性质61

发布时间：2016-09-04 15:17

本文关键词：变参数计量经济学联立模型的局部线性工具向量估计及其性质，，由笔耕文化传播整理发布。

第39卷第6期2009年3月；数学的实践与认识；Vol139No16；March,2009；变参数计量经济学联立模型的局部线性工具向量估计及；孙燕；(上海财经大学经济学院,上海200433)；摘要:联立方程计量经济学模型在经济政策制定、.利；数计量经济学联立模型研究我国转轨时期的宏观经济,；关键词:变参数计量经济学联立模型;渐近正态性；1引言；、经济结构分析

第39卷第6期2009年3月

数学的实践与认识

Vol139　No16　

March,2009　

变参数计量经济学联立模型的局部线性工具向量估计及其性质

孙　燕

(上海财经大学经济学院,上海　200433)

摘要:　联立方程计量经济学模型在经济政策制定、.利用变参

数计量经济学联立模型研究我国转轨时期的宏观经济,.在经济变量随机设计条件下,研究了估计量的大样本性质.,拟合效果更优..

关键词:　变参数计量经济学联立模型;渐近正态性

1　引　　言

、经济结构分析和经济预测方面起着重要作用[1].(Robustness),即永远不会错误地估计回归函数,如,[223];并且当回归变量为一维时,有很好的拟合效果,因此其在计量经济学中得到了越来越多的关注[425].但是非参数方法也有其弱点,其一它要求有大量的数据,这一点在我国宏观经济研究中很难满足;其二当回归变量是高维时,如在一个小型的Klein战争之间模型[1]中某个结构方程的解释变量就有6个,此时估计的收敛速度缓慢,令人很不满意,且估计极不稳定[6].

经典的线性联立方程虽然简便,但其假定在整个样本时序上结构参数都是恒定不变的.然而,一方面由于影响经济发展的因素众多,不同时期内随机因素对被解释变量的干扰方式及干扰程度不同,另一方面经济结构的变化也使得结构参数随时间不同而变化,因此线性联立方程容易造成单方程的设定误差,致使联立方程的累计误差很大.而我国自1978年改革开放以来,经济环境发生了重大的变化,因此利用变参数计量经济学联立模型研究我国转轨时期的宏观经济更合理.

设变参数计量经济学联立模型中的某结构式方程可表为:

Yi=(1,Xi)Βi+ui　i=1,2,…,n

(1)

其中Yi∈R是内生被解释变量,(Y1,X1),…,(Yn,Xn)是Rp+1上独立同分布的随机序列,变参数Βi=(Βi0,Βi1,…,Βip)T,ui是均值为零独立同分布的随机变量.本文我们将给出变参数宏观经济联立模型中Βi的非参数估计,并在经济变量随机设计条件下,证明了估计量的大样本性质(相合性、相合收敛速度和渐近正态性),其相合收敛速度达到了非参数估计的最优收敛速度.

Robinson

[7]

证明了为使其非参数估计具有一定的渐近性质,一个必要条件是Βi依赖于

收稿日期:2006208221

基金项目:国家自然科学基金(10801093)

6期孙　燕:变参数计量经济学联立模型的局部线性工具向量估计及其性质61

样本容量n,如对任意的j(0ΦjΦp)有

Βij=Βj(ti),ti=i??n

(2)

这个假设条件更直观的解释是样本点高度密集时得到的参数估计才具有相合性,关于这点

更多的讨论可参见[728].单方程变参数模型(1)最早由Robinson[7]为解决经济问题引入;注意到这个模型与文[9210]研究的泛函系数时间序列回归模型密切相关;此外这个模型也被成功运用到了计量经济、金融及其它领域[11213].

2　变参数的局部线性工具向量估计

相对于一般的核估计,局部线性估计克服了它们在边界点处的估计偏差收敛速度低于内点处估计偏差收敛速度的缺陷,方法适用于各种设计,如随机设计,固定设计等,可达到100%[14].i,Xi)}ni=1估计(2)中的{Βj(??)}.

在模型(1)中,XiiXip)T中某些分量与随机误差项ui

相关,即至少存在某个l,p)Xilui)≠0.又设Z1,…,Zn是Rp+1上独立同,i0,i,,Zip)T与Xi相关,但与随机误差项ui不相关,即E(Ziui)=0.iXi的工具向量.工具向量可以由经济系统的外生变量或者是内生.

对t领域内的点ti,Βj(ti)(j=0,1,…,p)可由Taylor展开式逼近为:

Βj(ti)≈Βj(t)+Β′t)j(t)(ti-其中Β′??)表示Βj(??)的一阶导数.于是对任意给定的t,Β(t)的局部线性工具向量估计j(

Β(t)定义为满足下列方程组的解:

∑

i=1

Yi-A

Β(t)

(t)Β′

Kh(ti-t)=0(3)

-1

其中BTt)=hK((ti-t)??h),称K(??)为核i,Ai分别为下列矩阵B,A的第i行,Kh(ti-函数(即权函数),h>0为窗宽,它控制着局部领域的大小,

Z10,Z11,…,Z1p,Z10(t1-t),…,Z1p(t1-t)

Zn0,Zn1,…,Znp,Zn0(tn-t),…,Znp(tn-t),…,X

t)t)t)

1,X11,…,X

(t1-(t1-(tn-

1,Xn1,…,Xnp,Xn1(tn-t),…,X

注:方程组(3)同时给出了变参数一阶导数的估计,若其一阶导数为零则表明结构参数是常数,本文我们将一并给出这些估计的大样本性质.

选择适当的窗宽使(BTWA)-1存在,则对任意给定的t,由(3)得Β(t)及其一阶导数的估计为:

Β(t)=(Ip+1,0p+1)(BTWA)-1BTWYΒ(t)=(0p+1,Ip+1)(BTWA)-1BTWY

(4)(5)

^′

62数　学　的　实　践　与　认　识39卷

其中Ip+1为(p+1)阶的单位阵,0p+1为(p+1)阶的全零阵,Y=(Y1,…,Yn)T,W=diag(Kh(t1-t),…,Kh(tn-t)).

3　估计的渐近性质

首先引入下面的记号:

^^^TT

(t))T,Χ(t)=(ΒT(t),Β′(t))T,H=diag(1,h)??Ip+1,Χ(t)=(ΒT(t),Β′

??T),X??T=(1,XT),8??=E(ZZTu2),Λ=

8=E(ZiXiiiiiiΚ

vΚ=

∫

tK(t)dt,#=(Λi+j)0Φi,jΦ1

∫

??Κ2T

tK(t)dt,#=(vi+j)0Φi,jΦ1,#1=(Λ2,Λ3)

其中??表示Kronecker内积.

为了得到估计量的渐近性质,:条件1　Βl(??)的二阶导数Β″??)(l=0,1,…,tl(

条件2　核函数K(??)为具有紧支撑[].

条件3　n→∞时,h→0,→∞.定理1　条件13,(0,1),我们有

-″L-1??-1-1??T-1

(t)-N(0,###??{88(8)})

2特别地,

L″221??

nhΒ(t)-Β(t)-N0,8(8T)-1222

(Λ0Λ2-Λ1)2(Λ0Λ2-Λ1)

^()()

　　注1　E(Βld(t)-Βld(t))=O(h2-d),局部线性工具向量估计是渐近无偏的,

22(d)-1-D(Βl(t))=O(nh

(2d+1)

),E{Βl(d)(t)-Βl(d)(t)}2=O{h2(2-^

+n-1h-

(2d+1)

},d=0,1,l=

0,1,…,p,其中Βl

(0)

(t)=Βl(t).

()

注2　当n-1h-2d+1→0时,Βl(d)(t)Βl(d)(t).

55)时,这些估计的均方误差达到最优收敛速度O(n-2(2-d)??),即得变参数当h=O(n-1??

),达到了非参数估计的最Β(t)的局部线性工具向量估计的最优相合收敛速度为OP(n-2??

优收敛速度[15].

下面我们将讨论估计量在两个边界点处的渐近性质,如Β(t)在左端点t=ch(0<c<

1)上的渐近性质,同理可得Β(t)在右端点t=1-ch上的渐近性质.为此对任意ΚΕ0的整数,定义

ΛΚ,c=

??=(v(Λ2,c,Λ3,c)T#c=(Λi+j,c)0Φi,jΦ1,#ci+j,c)0Φi,jΦ1,#1,c=

　　定理2　条件1～3满足时,估计量在左端点上有

2-1″L^-1??-1-1??T-1

nhHΧ(ch)-Χ(ch)-N(0,#c#c#c??{88(8)})

特别地,

22″

^nhΒ(ch)-Β(ch)-2(Λ0,cΛ1,c-Λ22,c)

∫

-c

tK(t)dt,vΚ,c=

∫

-c

Κ2

tK(t)dt,

6期孙　燕:变参数计量经济学联立模型的局部线性工具向量估计及其性质

22??0,{8-18(8T)-1}22

(Λ0,cΛ2,c-Λ1,c)

　　注　可见估计量在端点处有类似于其在内点处的渐近性质.

定理的证明见下一部分(第4部分).

4　定理的证明

定理的证明需要用到下面的引理.由积分的黎曼和近似直接可得:引理　当条件1、2满足时,1)对任意的t∈(0,1),有

Sn,Κ(t)=nM

-1

∑(h

i=1n

-1

(ti-(ti--1

t))Kh(ti-t))Kh(ti-Κ

t)=ΛΚ(1+o(1)))t)[

-1

n,Κ

(t)=n

-1

∑(h

i=1

-1

vΚ(11″

Qn,Κ(t)=(2n)

-1

(i(tt)Khti∑Β(Ν)(t

j=0

-t)]

2ΛΚt)(1+o(1))　　2)Sn,=ΛΚ,c(1+o(1)),Mn,Κ(ch)=h-1vΚ,c(1+o(1))

Qn,Κ(ch)=

2″

hΛ2+Κ,cΒ(0+)(1+o(1))2

其中Κ=0,1,2,Ν.ij位于ti与t之间,j=1,…,p;i=1,…,n

定理1的证明　由于

??″)(t-t)2X1jΒj(Ν1j1pY=AΧ(t)+??+u

2∑j=0

??″)(t-t)2XnjΒj(Νnjn

??是X??的第(j+1)个分量,u=(u,…,u)T.因此,其中X

nhH(Χ(t)-

Χ(t))=nh(n

-1

??″)(t-X1jΒj(Ν1j1

-1

(BTWA)H

-12

)-1(2n)-1H

-1

??∑

j=0

??″)(t-t)2XnjΒj(Νnjn

-1

+nh(nH(BTWA)H

-1

)-1n-1H

-1

BWu≡I1+I2

通过直接计算,并由引理的(1)和大数定律得

-1-1

(BTWA)H-1=#??8(1+oP(1))nH

??″2XΒ(Ν)(t-t)

(6)(7)

1jj1j1

(2n)-1H

-1

∑

j=0

2″

??=h#1??{8Β(t)}(1+oP(1))

??″2XnjΒj(Νt)nj)(tn-2

-1

因此,

I1=

″

(8)

64数　学　的　实　践　与　认　识39卷

又

nhE(nH

-1-1

BWu)=

nhn

-1

∑E(H

i=1

-1

BiKh(ti-l

t)ui)

t)E(Ziui))0ΦlΦ1=0t)ui)t)}

cov(

nhnH

-1

nh((h

-1

(ti-t))Kh(ti--1

BWu)=hn

T-1

∑cov(H

i=1

BiKh(ti-uiKh(ti-t))

=hE{H

-1

BiBiH

T-1

2-1

(ti-=h(E(ZiZTiui)(h

j+l

????=#??8(1+o(1))

由中心极限定理可得,

nhH

-1

Kh(ti-

t))0Φj,lΦ1

BWu

??N(0,#????(t)8

(9)(10)

结合式(6)得

--N(0,#1

()-1)

??因此由(8)和(10).

Ci=Βi0+Βi1Yi+Βi2Ci-1+Βi3Ci-2+u1i

Ii=Αi0+Αi1Yi+Αi2Yi-Yi=Ii+Ci+Gi

+u2i　i=1988,…,2004(11)

其中国内生产总值Y、居民消费总额C和投资总额I为内生变量,政府消费G(为了实现数据

的平衡,将净出口也包含其中,该数据是按照Y2C2I计算出来的)、滞后一期居民消费、滞后二期居民消费、滞后一期国内生产总值和常数项都是外生变量,u1,u2为随机误差项.1986～

(2005).2004年的中国宏观经济数据(单位:亿元)来源于《中国统计摘要》

利用线性联立方程计量经济学模型的识别理论[1],易见消费方程和投资方程都是过度识别的方程,因此该模型系统是可以识别的.以消费方程为例,投资方程类似.对变参数消费

(1,Gi,Ci-1,Ci-2),采用Epanechnikov方程进行局部线性工具向量估计,取工具向量ZTi=

核函数,即取

0.75(1-t2),　-1<t<12

K(t)=0.75(1-t)+=

0,　others

由交叉验证法确定h=1.06,得到消费方程在1988～2004年观察点的平均绝对拟合误差为291.2.由同样数据,利用两阶段最小二乘方法得到的经典线性消费方程的平均绝对拟合误差为456.1.故总的来说,变参数消费方程的拟合效果优于经典线性消费方程,并且更符合实际消费理论,要求的数据量也不大.又根据其残差分布情况(见图1),在76.5%的观察点处变参数消费方程拟合优于经典线性消费方程,并且其残差总体分散程度相对要小一些,尤其是改善了经典线性模型在1997、2000年较差的拟合状况.

其中星号表示经典线性消费方程的残差,折线表示变参数消费方程的残差.

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