几类流体动力学方程的整体适定性

发布时间：2020-05-06 15:42

【摘要】：流体动力学方程在气象学、大气与海洋科学以及石油化工等众多领域的理论分析和数值计算中发挥着非常重要的作用,其适定性问题一直是偏微分方程方向的重要课题。本学位论文主要致力于研究分数阶和带部分粘性的流体动力学方程的整体适定性。共五章,全文结构具体安排如下:第一章介绍基本的函数空间以及它们间的嵌入关系、常用不等式和几种改进的Gronwall不等式。第二章考虑2维分数阶Tropical Climate方程,分数阶Laplace项分别为(-△)αu、(-△)βv和(-△)γθ。我们证明了四种情形下方程的整体适定性。第一种情形:α =0,β1,β+γ3/2。我们借助Littlewood-Paley分解理论,Besov空间理论,分数阶热算子的极大正则性和有关分数阶Laplace项的下界,得到相应的先验估计。第二种情形:α+β=2,1β≤3/2,γ=0。证明的难点是解(u,u,θ)的H1估计,为此我们引进新的量H=%健-A2-2βθ。另一方面,由于θ的方程耗散项的缺失,我们利用对数型的Sobolev不等式获得||%絬||L∞的估计,从而控制θ的导数项。第三种情形:3/2β ≤ 2,α= γ=0。为了验证先验估计,我们运用了分数阶热算子的极大正则性、输运方程的Vishik-log型估计和交换子估计。最后一种情形:α=2,β=γ=0。这里我们巧妙地利用了对数型的Sobolev不等式和对数型的Gronwall不等式。第三章研究2维分数阶Magneto-Micropolar流体方程的整体适定性。由于u和b的方程分数阶耗散(即Λ2αu、Λ2βb,α+β=2,1α3/2)以及ω的方程耗散项缺失,加大了证明||(u,b,ω)||H1有界的难度。为此我们令涡量Ω=%健羥,j=%健羈,同时引进新的量G=Ω-2χ/μ+χΛ2-αω。用能量办法得出∫0T ||G(t)||L∞2 dt∞。其次,我们证明||ω||Lp有界,通过对p的有限次迭代,得到||ω||L∞一致有界。最后根据∫0T ||Λ2-βj(t)||L22 dt∞推出∫0T||j(t)||L∞2 dt∞。结合以上结论,我们可以证明分数阶Magneto-Micropolar流体方程解的整体存在性和唯一性。第四章讨论2维带部分粘性的Tropical Climate方程的整体适定性,其中u和θ的方程带部分粘性,v的方程含有标准的Laplace项△v。我们根据粘性系致μij和ηi(i,j=1,2)是否为0,得到六种情形Tropical Climate方程整体适定,分别为:μ12=μ21=η2=1,μ11=μ22=η1=0;μ12=μ21=η1=1,μ11=μ22=η2=0;μ11=μ21=η2=1,μ12=μ22=η1=0;μ12=μ22=η1=1,μ11=μ21=η2=0;μ11=μ12=η1=1,μ21=μ22=η2=0;μ21=μ22=η2=1,μ11=μ12=η1=0.这里我们反复使用了各向异性的Sobolev不等式、部分积分和Young不等式。第五章研究2维带部分粘性的Micropolar流体方程的整体适定性。根据粘性系数μij和ηi(i,j=1,2)是否为0,我们证明了两种情形Micropolar流体方程整体适定,μ12=μ21=η2=1,μ11=μ22=η1=0 and μ21=μ22=η2=1,μ11=μ12=η1=0.我们根据u的散度为0,推导出一些恒等式。本章定理的证明除了用到第四章类似的计算技巧,我们还巧妙地运用了这些恒等式。
【学位授予单位】：安徽大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2019
【分类号】：O351.2;O175.2

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