几类流体力学方程组奇异极限的理论分析

发布时间：2020-08-26 07:11

【摘要】：该论文主要考虑几类流体力学方程组小粘性与小热传导系数极限问题的理论分析。论文主要分为两部分,第一部分着重于分析几类可压与不可压Navier-Stokes方程组在能量空间中的小粘性与小热传导系数极限问题,第二部分考虑不可压粘性热传导流的小粘性及小热传导极限过程中在物理边界附近的边界层性态及相应的数学理论。在本文的第一章中,我们将陈述问题的研究背景,提出研究问题并给出主要的研究结果。在第二章中,针对带Navier边界条件的不可压Navier-Stokes方程、带无滑移边界条件的可压Navier-Stokes方程以及带无滑移边界条件的Navier-Stokes-Fourier方程,我们分别给出了它们的小粘性(小热传导)极限在空间L∞([0,T],L2(Ω)中收敛到相应的无粘(无热传导)问题的一系列充分条件。首先,对于二维有界区域中带Navier边界条件的不可压Navier-Stokes方程的小粘性极限问题,当滑移长度小于或等于粘性系数的量阶时,受[37,71]启发,我们通过利用能量方法得到当粘性系数趋于零时带Navier边界条件的不可压Navier-Stokes方程的有限能量弱解在L∞([0,T]，L2(Ω))中收敛到相应的Euler问题的强解的几个Kato型的充分条件。此外,我们也考虑滑移长度大于粘性系数的量阶的情况,证明了收敛在L∞([0,7]L2(Ω))中无条件成立。其次,对于三维有界光滑区域中带无滑移边界条件的可压等熵Navier-Stokes方程的小粘性极限问题,我们通过构造Kato型“边界层”函数给出收敛在空间L∞([0,T]L2(Ω))中成立的两个充分条件。该条件仅对边界附近的薄层内速度的切向或法向分量有一定的要求。最后,我们更进一步考虑非等熵可压流。针对三维有界光滑区域中带无滑移边界条件的Navier-Stokes-Fourier方程的小粘性及小热传导系数的极限问题,通过构造Kato型“边界层”函数得到收敛在空间L∞([0,T],L2(Ω))中成立的两个充分条件。这两个条件对边界附近的薄层内流体速度的切向或法向分量作一些要求。此外由于温度也会存在边界层,薄层内温度也需要满足一定的可积性条件。在第三章中我们主要考虑不可压粘性热传导流的边界层性态及边界层方程在解析类中的适定性及解的破裂。针对粘性系数与热传导系数为同阶小量的情况,首先利用多尺度分析的方法推导出不可压粘性热传导流的边界层方程,然后对于关于边界切向变量解析的初值利用Littlewood-Paley分解建立边界层方程关于边界切向变量解析的解的局部适定性结果,最后对于一类特殊的外流及边值,针对非单调的初值证明边界层方程关于边界切向变量解析的解将在有限时间内在有限阶Sobolev空间中破裂。
【学位授予单位】：上海交通大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O35;O175.29
【图文】：

平板边界层

时在障碍物附近流动的刻画，其原因ＩＥ是由于忽略了流体粘性。直到１９０４年，Ｐｒａｎｄｔｌ逡逑（丨６４］）提出了边界层理论，才将理论与实际紧密联系起来６逡逑我们先通过＿个实例来认识简单的边界层《考虑１维不可压平板平行流（图１．１＞逡逑假设来流平行于平板，在平板前方，来流的分布是均匀的，来流与平板接触，由于粘性逡逑流体会附着在边界上，其在边界上可近似地看作满足无滑移条件，流速为零＊从而流逡逑体的运动要满足如下方程：逡逑｛0ｉ＜；ｕ邋＋邋（ｕ邋？邋Ｖ）ｕ邋＋邋Ｖｐ邋—邋ｃＡｕ邋＝邋０，逡逑ｄｉｖ邋ｕ邋＝邋０，逦（１．１）逡逑Ｕ｜－ｙ＝０邋＝邋0？逡逑ｕ逦ｉｆ逦Ｗｆｅ？逡逑＿T帷常竒逡逑图１．１平板边界层逡逑１逡逑

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