带跳变的随机波动模型下美式期权高阶有限差分定价研究

发布时间：2017-10-15 20:09

  本文关键词：带跳变的随机波动模型下美式期权高阶有限差分定价研究

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【摘要】：有效模型下的美式期权定价,已经成为计算金融领域的重要课题之一。作为带跳变的随机波动模型典型,由于Bates模型继承了Merton模型以及Heston随机波动模型的优良特性,能较好地刻画金融资产收益率分布的“肥尾、超峰、有偏”的分布特性,以及期权市场隐波动面的“微笑与假笑”现象(smile and smirk);同时,Bates模型下的欧式期权定价还具有可解析性等,这使得该模型日渐成为金融业界的首选参考模型之一。尽管经典的Black-Scholes (B-S)模型下美式期权的有限差分定价方法,已经取得了大量成果,然而Bates模型下美式期权定价问题,比B-S模型下的要复杂的多,体现为：1)随机波动因子的存在,致使美式期权定价问题的空间维度增加了1维；2)跳项使得期权定价的偏微分方程(PDE)变为偏积分微分方程(PIDE),这就给Bates模型下美式期权有限差分定价带来新的挑战。到目前为止,尚鲜见到可以有效同时解决这两大挑战的研究报告。本文基于Jain的紧致有限差分格式(High order compact of Jain, HOCJ),结合卷积积分(Convolution integral)与快速傅里叶变换(FFT),构建了一种新颖的数值方法,简称HOCJ-CF,并用于Bates模型下美式看跌期权定价。核心思想是：为了避免非局域跳项引起的全矩阵求逆,暂时将跳形成的积分项放置一边,如此生成离散微分项的九点紧致差分格式后,再重新考虑积分项,得到最终的定价方法。具体地说,针对定价PIDE中的微分项(即Heston模型下的PDE),拆分成三个带有假定系数(稍后确定)的子偏微分方程,然后分别应用Numerov离散方法,衍生出具有空间四阶精度和时间二阶精度的HOCJ格式,该格式被证明是收敛的,在相同Heston模型参数设置下,数值结果证明其相较于HOCS的优越性；至于积分项则转化成卷积积分,并运用FFT。在相同Bates模型参数设置下,数值结果则验证了新方法HOCJ-CF在精度、收敛率及效率相比IMEX格式的优越性。本文提出的HOCJ-CF方法在期权定价领域具有以下创新：1)将常用的一维二阶常微分方程求解下Numerov原理的应用,推广至采用二维二阶抛物线拟线性偏微分方程的资产价格随机模型下期权定价问题；2)与HOCS相比,形式更简单：通过将定价偏微分方程拆分成三个子方程,成功避免了HOCS对截断误差中高阶偏导项的复杂操作；且暂时不考虑跳项后,得到了美式期权的线性紧致定价格式；3)继承了HOCJ的优势,美式期权定价的精度得到保证；4)巧妙地认识到基于随机波动的Bates模型中不含跳部分是Heston随机波动模型的PDE,应用新HOCJ算法进行该部分的离散,并采用卷积积分和快速傅里叶变换对跳部分离散,既达到了高阶精度,又避免了全矩阵求逆的复杂计算。本文的研究丰富了期权定价理论,可以加深人们对金融市场中期权作用的认识,认识到合理定价的重要性,正确理性投资。实际中,HOCJ-CF较为精确、直接、快速,具有普遍适用性：一方面可应用于刻画其他带跳随机波动率模型的PIDEs,另一方面也可用于除美式期权外的其他类型期权,为量化工作者提供可靠参考,也有利于投资者更好地使用期权进行风险对冲,并为风险管理者提供有效的风险指标。
【关键词】：美式期权定价 高阶紧致差分格式 FFT Numerov离散 Bates模型 带跳变的随机波动模型
【学位授予单位】：广东工业大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：F224;F831.53
【目录】：

• 摘要4-6
• Abstract6-14
• 第一章 绪论14-26
• 1.1 研究背景及意义14-17
• 1.1.1 研究背景14-16
• 1.1.2 研究意义16-17
• 1.2 国内外研究现状及分析17-21
• 1.2.1 美式期权的一般有限差分定价方法17-19
• 1.2.2 美式期权的高级有限差分定价方法19-20
• 1.2.3 带跳变的随机波动Bates模型下的美式期权定价有限差分方法20-21
• 1.2.4 存在的问题和研究价值21
• 1.3 研究思路与技术路线21-24
• 1.4 特色与创新之处24
• 1.5 本文篇章结构24-25
• 本章小结25-26
• 第二章 经典B-S模型下美式期权高阶有限差分定价研究基础26-36
• 2.1 经典B-S模型26-28
• 2.2 美式期权定价框架28-31
• 2.2.1 自由边界问题28-30
• 2.2.2 线性互补问题30-31
• 2.3 B-S模型下美式期权HOCJ定价31-34
• 本章小结34-36
• 第三章 Heston随机波动模型下的美式期权高阶有限差分定价的改进研究36-51
• 3.1 Heston随机波动模型及美式期权定价线性互补问题36-39
• 3.2 Heston随机波动模型下的美式期权HOCJ定价39-47
• 3.2.1 HOCJ九点差分格式的推导39-42
• 3.2.2 边界条件的处理42
• 3.2.3 HOCJ九点差分具体格式42-46
• 3.2.4 收敛性的证明46-47
• 3.3 数值仿真47-50
• 本章小结50-51
• 第四章 带跳变的随机波动Bates模型下美式期权高阶有限差分定价研究51-64
• 4.1 带跳变的随机波动Bates模型及美式期权定价框架52-54
• 4.2 带跳变的随机波动Bates模型下的美式期权HOCJ-CF定价54-60
• 4.2.1 运用HOCJ对微分算子(即Heston随机波动模型的相关项)的离散54-56
• 4.2.2 边界条件的处理56-57
• 4.2.3 微分项HOCJ九点差分具体格式57-58
• 4.2.4 运用卷积积分和快速傅里叶变换(CF)对积分项进行离散58-60
• 4.3 数值仿真60-62
• 本章小结62-64
• 总结与展望64-66
• 参考文献66-71
• 攻读学位期间发表的论文71-73
• 致谢73-75
• 附录75-76

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本文编号：1038452