带跳的rough path理论及其在线性和非线性期望中的应用

发布时间：2020-08-26 09:29

【摘要】：在各类工程,金融,数学等领域中,我们经常要遇到类似下面形式的方程dyt = f(yt)dxt, (0.0.1)其中:x是一个多维的驱动信号,/是一列驱动的向量场。1如果x∈C1或者x∈C1-var那么这个方程可以理解为y(t)=f(y(t))x(t)其中C1-var表示连续的局部有限变差的轨道的集合。在这种情况下,更准确的说原来的方程应该理解为(?)而对于x(?)C1-var,我们需要将低正则性(例如x∈Cp-var其中p 1)与不连续性区分开来。在x∈Cp-var情况下,例如连续的半鞅(其中p 2),这时要理解方程(0.0.1),我们经常需要考虑的是Ito或者Stratonovich意义下的积分。关于半鞅驱动的微分方程的研究,可参考例如 Applebaum [2], Jacod-Shiryaev [40],Kurtz-Pardoux-Protter [46],Protter[62]等众多经典的著作。从这个例子也可以看出,如果驱动的轨道是非常“粗糙的”(p ≥ 2),那么它所驱动的积分通常是不被该轨道唯一决定的(Ito v.s. Stratonovich)。如果没有半鞅的结构(甚至没有概率的框架下),例如金融中股票的走势图就是单一的一条“粗糙的”轨道,Lyons在他创造性的文章[53]中建立的rough path理论(本身是确定性的分析)为理解这类由“粗糙的”轨道驱动的方程提供了强大的理论基础。其中要求x∈Cgp,p ∞,也就是所谓的连续的几何p-rough path空间。对于方程中类似于Ito或者Stratonovich这样的积分不唯一的现象则由rough path结构的高阶项所唯一决定了(例如给定半鞅X,对应Ito或者Stratonovich的积分,是由不同的驱动的rough path(X,∫XdX)与(X,∫ XodX)决定的)。其中,概率的信息主要被用于构造这种随机的rough path (参考 Lyons-Qian[51],Lyons[53],Friz-Victoir[18],Friz-Hairer,[17])。对于连续半鞅作为 rough path 的研究,可以参考 Coutin-Lejay [10],Friz-Victoir [20, 18]。在Flint-Hambly-Lyons[15]中,作者考虑了连续半鞅驱动的方程的逐段线性的Wong-Zakai逼近。在Lyons-Yang [52]中,作者考虑了 Ito SDEs和平均化的Stratonovich解的关系。另一个有意思的非概率的问题,当驱动函数x带跳的时候,例如考虑在有界变差的情况下,取x∈D1≡D∩V1,其中D表示右连左极的轨道全体,(因此dx可以理解为Lebesgue-Stieltjes测度),我们可以考虑下面的方程(?)其中方程(0.0.3)表示Lebesgue意义下的积分方程,方程(0.0.5)可以理解为“将跳点处打开一个“小区间”,然后将左右极限用直线连接起来,从而变为解一个连续轨道驱动的方程,然后再忽视添加的“小区间”对应的解的部分”(这也称作“Marcus典则解”)。而这样做的代价是改变了原来的积分或者方程(相当于将Ito意义的方程变为了 Stratonovich方程),当轨道非常粗糙的时候,这个变化并不是明显可逆的(此时积分形式非常复杂),因此用后者研究前者是非常困难的。第一个方程(0.0.3)并没有太大的意义,因为很容易得到这类方程并不一定存在解(例如考虑y0= 1, f(y) = y,dx=δ1,容易得到y1 = 1+y1)。对于后面两类方程,在Young的情况下,i.e. x∈Dp,即右连左极且有限 p-变差(‖x‖pp:= supP(?)[0,T]∑u,v∈P|xv-xu|p∞),其中p∈ [1,2),首先由Williams [73]中进行了研究,其中它们分别被称为正向的以及几何的方程。本文中我们得到的结果在最简单的情况下,对应了 Young情况下的方程(0.0.4)。与[73]等之前的工作不同的是,首先,我们并不需要对x做任何连续性的假设,摆脱了如[73]等工作中右连续的假设,并且讨论清楚了右连续与左连续在定义积分与解方程中的差别(我们仅需要在Riemann-Stieltjes积分的定义上面固定被积函数在左端点即可,i.e..∫ ydx:=lim|P|→0∑(s,t)∈P ysxs,t);其次,我们直接通过Picard叠代的方法构造了解,而并不需要方程(0.0.5)的辅助(在[73]中作者先要解(0.0.5),再将该方程的解“变”为(0.0.4)的解);再者,我们的方法适用于各阶的rough path,i.e. x有有限的p-变差,p ∈[1,∞)。因此,我们能够给出由一般鞅驱动的Ito积分和方程的逐轨道的解释(对应了p∈[2,3))的情况,注意到此前的工作对于方程来说仅限于p∈ [1,2),不足以解释右连左极半鞅驱动的Ito方程。原因在于文章中我们采取了不同于先前工作的全新的处理技术手段,我们的主要技术在于从一个“足够好的”划分出发,充分利用积分形式的代数结构(这点在二阶以上的branched rough path情况下尤为显著,见第三章),到最一般的情况。为了突出我们的积分依赖于被积函数左端点的选取,我们将方程(0.0.4)记为(?).在rough path的框架下,我们也会遇到这样的问题。对于x∈Vp,p ∈ [2,3)的情况,由Friz-Shekhar在[22]中得到了右连左极下积分的可积性结果,其中作者也提出了右连左极的几何rough path的概念。进一步的,对于带跳的几何rough path驱动的方程解的连续性问题,在Chevyrev-Friz[7]中得到进一步的研究。本文主要研究的是正向的方程。与(0.0.5)不同的是,这时我们缺少了 “链式法则”,因此我们不能再在熟悉而又完善的几何rough path的框架下考虑这个问题。对于p ∈ [2,3)的情况,状态空间为Rd"

本文编号：2805001