关于拓扑群弱紧性的研究

发布时间：2020-11-01 03:45

　　 紧性是拓扑学中最重要的性质之一,是拓扑学的中心概念,同时在几何、分析、动力系统等其它数学领域具有广泛的应用.作为紧性概念自然推广,极小性、准紧、伪紧、可数紧等性质也在拓扑学中具有重要的地位和作用.同时我们还可以看到这些概念广泛出现在几何、分析、数论以及拓扑中.另一方面,拓扑群论与抽象调和分析、拓扑动力系统、李群、表示论以及数论有密切的联系,为这些学科的发展提供了坚实的基础以及广阔的空间.因此讨论各种弱紧性在拓扑群中的应用就是一件有意义的事情.本文主要侧重于弱紧性概念在拓扑群上的应用,推广了早期在拓扑群中得到的关于紧性和Bohr紧化的经典结果.最后我们还提出了有待继续研究的问题.具体内容如下:第一章我们给出了拓扑群τ-准紧Hausdorff群反射的三种不同构造.特别地,我们给出了 ω-narrow Hausdorff群反射以及准紧Hausdorff群反射的简单构造,进而给出了紧Hausdorff群反射的构造.同时我们证明了相应的τ-准紧Hausdorff群反射函子保持完备满态射,商映射,任意乘积.最终我们推导出紧反射函子保持任意乘积.第二章我们主要推广了Prodanov的p-adic整数群的刻画定理(即无限紧交换群的任意子群是极小的当且仅当该无限紧子群拓扑同构于某个p-adic整数群),得到了以下形式的结果:“局部紧交换群的任意子群是局部极小的当且仅当该局部紧群是李群或者有个开子群拓扑同构于某个p-adic整数群.”对于非交换的情形,我们证明了连通局部紧群的任意子群是局部极小的当且仅当该局部紧群是李群.该结果将局部极小性和经典概念李群和p-adic整数群紧密地联系在一起.第三章我们讨论拓扑群的CSS类的性质.该方向的一个主要问题是CSS类拓扑群是否是有限可乘的.我们给出了这个问题的否定回答,在不同的附加条件下给出三个不同的例子.首先在ZFC公理体系下,我们构造了CSS类中的两个准紧拓扑群,使得它们的乘积不属于CSS类.其次我们在2ω1 = 2ω的假设下,构造了CSS类中的一个伪紧拓扑群G,使得G×G不属于CSS类.该构造改进了A.Leiderman以及Tkachenko的一个结果.他们之前构造了CSS类中的两个伪紧拓扑群G和H,使得G ×H不属于CSS类.最后在MA(?)CH的假设下,我们构造了CSS类中的两个可数紧拓扑群G和H,使得G ×H不属于CSS类.
【学位单位】：南京师范大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O189
【文章目录】：
Abstract
摘要
Introduction and Backgrounds
    0.1 Reflection
    0.2 Minimality and local minimality
    0.3 Separability and weaker forms of compactness
Chapter 1 The τ-precompact Hausdorff Group Reflection of TopologicalGroups
    1.1 Preliminaries and main results
    1.2 The τ-precompact Hausdorff reflection of topological groups
    1.3 Precompact and ω-narrow Hausdorff reflections
    1.4 Some properties of canonical homomorphisms and reflection functors
Chapter 2 Locally Compact Groups and Locally Minimal Group Topolo-gies
    2.1 Preliminaries and main results
    2.2 Background on local minimality
    2.3 Compact abelian groups with a non-locally minimal subgroup
    2.4 Proofs of Theorem 2.1.7 and Theorem 2.1.9
    2.5 Final remarks and open questions
Chapter 3 Topological Groups Whose Closed Subgroups are Separable,and the Product Operation
    3.1 Preliminaries and main results
    3.2 A ZFC example of precompact topological groups
    3.3 Products of pseudocompact groups
    3.4 Products of countably compact groups
    3.5 Open problems
Bibliography
Publications or Finished Papers
Acknowledgements

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本文编号：2864989