记忆依赖型偏微分方程建模及其数值研究

发布时间：2025-06-06 03:16

　　自二十世纪中叶以后,分数阶导数在机械、图像处理、力学等领域迅速发展.但其核函数固定,不能根据实际自由选择,而且量值会随时间的增长而增大,从而导致刻画失效,这是其固有缺陷,从而发展了记忆依赖型导数,现已应用于粘弹性等领域.相比于分数阶导数,后者的定义形式更能刻画记忆效应,核函数也可以根据实际情况进行选择,由其构成的微分方程也更具表现力.本文利用记忆依赖型导数进行建模并展开数值研究.本文结合经典的弦振动方程和热传导方程,将其中的关于时间的变化率替换为二阶的记忆依赖型导数,建立记忆依赖型偏微分方程.随后研究关于此方程构成的初-边值问题的解的性态,并讨论核函数、扩散系数和时滞等因素对解的性态的影响.最后讨论了新问题与经典弦振动方程、热传导方程及分数阶偏微分方程的解的异同.结果显示:本文提出的新问题的解既有衰减性,又有波动性.解的性态受到核函数、扩散系数和时滞的影响,振幅随扩散系数和时滞的增加而降低.不同核函数下解的性态也有所不同.新问题解的性态介于经典弦振动方程和热传导方程之间,振幅衰减速度慢于热传导方程,振幅远大于后两者的振幅.与分数阶偏微分方程数值解相比,其解的衰减速度更缓慢且波动性更明显....

【文章页数】：58 页

【学位级别】：硕士

【文章目录】：
摘要
abstract
第1章 绪论
    1.1 课题研究的背景、意义及目的
    1.2 国内外研究现状
        1.2.1 分数阶偏微分方程研究现状
        1.2.2 记忆依赖型偏微分方程研究现状
    1.3 本文主要内容与章节安排
    1.4 一些常用符号及说明
第2章 几类导数及其相互关系
    2.1 导数、偏导数及三种常用的分数阶导数
        2.1.1 导数与偏导数
        2.1.2 三种常用的分数阶导数
    2.2 记忆依赖型导数
        2.2.1 记忆依赖型导数
        2.2.2 记忆依赖型导数与导数的关系
        2.2.3 记忆依赖型导数与分数阶导数的关系
第3章 记忆依赖型偏微分方程数值解研究
    3.1 记忆依赖型偏微分方程
    3.2 不同因素对解的影响
        3.2.1 核函数对解的影响
        3.2.2 扩散系数对解的影响
        3.2.3 时滞对解的影响
    3.3 与经典的热传导方程及弦振动方程的比较
    3.4 与分数阶偏微分方程对比
    3.5 本章小结
第4章 记忆依赖型热传导模型的建立及其数值研究
    4.1 建模背景
    4.2 记忆依赖型热传导模型建立
    4.3 数值模拟
        4.3.1 新模型的初-边值问题
        4.3.2 与经典的热传导方程比较
        4.3.3 核函数对新模型的影响
    4.4 本章小结
总结与展望
参考文献
攻读硕士学位期间发表的学术论文及科研工作
致谢



本文编号：4049704