拉格朗日中值定理及其应用

发布时间：2025-07-01 22:14

　　 为了便于能更好的理解和应用拉格朗日中值定理。本文主要通过介绍拉格朗日中值定理的定义、性质及其在各种问题中的应用来为拉格朗日中值定理做出解释说明。我们知道,拉格朗日中值定理阐述了函数改变量f(b)-f(a)与导数f'(x)之间的联系,使我们能够利用导数来研究函数,函数的上升、下降,求函数的极值,函数的凹凸性和拐点等可以利用它来解释。罗尔定理中函数在区间上的改变量f(b)-f(a)=0,所以说它可作为拉格朗日中值定理的特例。本文中例举了遇到ξ,η∈(a,b),且ξ≠η满足某种关系式时,要证明此类型的命题,常用一次或几次的拉格朗日中值定理。可以看到,只要合适应用的拉格朗日中值定理,较复杂的关系式证明就会显得容易许多。

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【部分图文】：

图1现在我们考虑一下：如果这条连续曲线弧的弦 AB 不平行于

′(ξ)=?由条件可知在图1中曲线在C点处的切线平行于弦AB，那么在图2中我们能否找到一点C，使C点切线斜率kC=kAB=f(b)-f(a)b-a由前面学的导数的几何意义我们知道f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a。Lagrange中值定理如果函数在闭区间....

图2那么此时 f′(ξ)=?

那么结论将会怎样变化呢？引导学生通过观察多媒体课件，直观感觉。图2这里函数f(x)仍满足：1)[a,b]上连续；2)(a,b)内可导；那么此时f′(ξ)=?由条件可知在图1中曲线在C点处的切线平行于弦AB，那么在图2中我们能否找到一点C，使C点切线斜率k....

图32. Lagrange 中值定理的几何意义由前面的分析,我们可以这样叙述 Lagrange 中值定理的几何意义

y=f(x)交于M,与弦AB交于N（如图3）那么有向线段NM的值就是x的函数，从而有向线段NM的值与f(x)有密切联系，且当x=a及x=b时，点M与点N重合，如果把有向线段NM的值的函数记为φ(x)=yM-yN,大家下去后思考：这个函数是....

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